\documentclass[a4paper,20pt]{article}

\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{palatino}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancybox}
\newcommand\R{$\mathbb{R}$}
\newcommand\C{$\mathbb{C}$}
\newcommand{\exo}[1]{\section{#1}}
\newcommand{\question}[1]{\subsection {#1}}
\newcommand{\subquestion}[1]{\subsubsection {#1}}
\newcommand{\subsubquestion}[1]{\emph \textbf{{#1}}

}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textsc{Vasseur Emmanuel} \\ TPL}
\rhead{22/10/2007}

\begin{center}\Huge{Devoir maison de mathématiques}\end{center}

\exo{Exercice :}

\question{Résoudre, dans l'ensemble \C des nombres complexes,
l'équation $(E') : Z^2 + Z + 1 = 0$.}

$$Z^2 + Z + 1 = 0$$
$$\Delta = b^2 - 4 \times a \times c = 1 - 4 \times 1 \times 1 = -3$$
\begin{center}
$\Delta < 0 \Rightarrow$ deux solutions dans \C\end{center}
$$Z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$$
$$Z_2 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$$

L'ensemble des solutions de l'équation $(E') : Z^2 + Z + 1 = 0$ est donc :
$$S = \left\{
\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\right\}$$

\question{Soit $Z_1$ la solution de l'équation $(E')$ dont la partie imaginaire
est positive}
\subquestion{Montrer que $Z_1 = (\frac{1 + i\sqrt{3}}{2})^2$}
\begin{align*}
(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})^2 &= \frac{1 + 2i \sqrt{3} - 3}{4} \\
&= \frac{-2 + 2i \sqrt{3}}{4} \\
&= \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} \\
&= Z_1
\end{align*}
Donc $Z_1 = (\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})^2$.

\subquestion{En déduire les solutions, dans l'ensemble des nombres complexes,
de l'équation $z^2 = Z_1$.}
$$z^2 = Z_1$$
$$\Leftrightarrow z^2 = (\frac{1 + i\sqrt{3}}{2})^2$$
$$\Leftrightarrow z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \text{ ou } z = \frac{-1 -
i\sqrt{3}}{2}$$

\subquestion{Écrire ces solutions sous forme exponentielle.}
La forme exponentielle de $z$ est $z = \rho \times e^{i\theta}$. Déterminons
$\rho$ et $\theta$ pour les deux valeurs de $z$ possibles (celles trouvées en
réponse à la question précédente) :

\underline{Pour $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ :}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} &= 1 \\
cos(\theta) &= \frac{x}{\rho} &= \frac{1}{2} \\
sin(\theta) &= \frac{y}{\rho} &= \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3} [2\pi], z = e^{\frac{i\pi}{3}}
\end{equation*}

\underline{Pour $z = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ :}
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} &= 1 \\
cos(\theta) &= \frac{x}{\rho} &= -\frac{1}{2} \\
sin(\theta) &= \frac{y}{\rho} &= -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow \theta = -\frac{2\pi}{3} [2\pi], z = e^{\frac{-2i\pi}{3}}
\end{equation*}

\question{Soit $Z_2$ l'autre solution de l'équation $(E')$.}
\subquestion{Déterminer le module et un argument de $Z_2$.}
On procède de la même manière qu'à la question précédente : on exprime $Z_2$
sous la forme $Z_2 = \rho \times e^{i\theta}$ :

\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} &= 1 \\
\cos\theta &= \frac{x}{\rho} &= -\frac{1}{2} \\
\sin \theta &= \frac{y}{\rho} &= -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow \theta = -\frac{2\pi}{3} [2\pi], Z_2 = e^{\frac{-2i\pi}{3}}
\end{equation*}

\subquestion{Montrer que si $z$ est solution, dans l'ensemble \C des nombres
complexes, de l'équation $z^2 = Z_2$, alors le module de z égale 1.}

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs
arguments sont égaux à $2\pi$ près. On s'intéresse aux modules, on peut donc
écrire l'équation suivante :
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&|z^2| = |Z_2| \\
\Leftrightarrow &|z^2| = 1 \\
\Leftrightarrow &|z|^2 = 1 \\
\Leftrightarrow &|z| = 1 \text{ ou } |z| = -1
\end{aligned}
\end{equation*}
Or un module, par sa définition, est toujours positif. La seconde solution,
$|z| = -1$ est donc impossible. On a donc démontré que toute solution $z$ de
l'équation $z^2 = Z_2$ a pour module $|z| = 1$.

\subquestion{On pose $z = e^{i\theta}$, où $\theta$ est un nombre réel de
l'intervalle $]-\pi; \pi]$. Déterminer les deux valeurs de $\theta$ telles que
$z^2 = Z_2$.}
On part de la même constatation qu'à la question précédente : deux complexes
sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments sont
égaux à $2\pi$ près. Cette fois, on s'intéresse aux modules de ces deux
complexes en utilisant la formule de De Moivre :
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&z^2 &= Z_2 [2\pi] \\
\Leftrightarrow & (\cos \theta + \sin i\theta)^2 &= 
\end{aligned}
\end{equation*}
Or dans l'intervalle $]-\pi; \pi]$, un autre argument a le même cosinus et le
même sinus que $\frac{-\pi}{3}$ : il s'agit de 

\end{document}